PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

SEXTO SEMESTRE

BLOQUE1.-ANALIZA Y RESUELVE SITUACIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD

Términos básicos de la teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos, colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Teoría básica de conjuntos

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

EJEMPLOS:

Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$

El espacio tridimensional E₃ es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E₃. Las rectas r y planos $α$ son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E₃, r ⊆ E₃ y $α$ ⊆ E₃.

Conceptos básicos de probabilidad

He aqui unos conceptos basicos de probabilidad

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.

Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio

Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral

Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales

Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .

Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral

Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro

Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

EJEMPLOS:

EJEMPLO: Se lanza un dado.

1) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.

3) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}

4) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {resultado menor o igual a 4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente excluyentes.

5) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.

6) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.

Técnicas de conteo

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento Bpuede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N₁ maneras o formas, el segundo paso de N₂ maneras o formas y el r-ésimo paso de N_r maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

N₁ x N₂ x ..........x N_r maneras o formas

PRINCIPIO ADITIVO

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION

Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de

m+n maneras.

PRINCIPIO DE PERMUTACION:

A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:

FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

PRINCIPIO DE COMBINACION:

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:

n C r = n!

EJEMPLOS

BLOQUE 2.- APLICA LA PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA

Probabilidad simple

La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.

Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión.

EJEMPLOS

Probabilidad Conjunta

Probabilidad conjunta es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes

DEFINICION

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ y dos eventos (o sucesos) $A, B\in \mathcal F$ con $P(B)>0$ , la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

INTERPRETACION

. $P(A \mid B)$ se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, $P(A \mid B)$ sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza $P(A \cap B)$ . En este caso $P(A \mid B)$ , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el área verde representa $P(A \cap B)$ y el área de B representa a $P(B)$ , formalmente se tiene que:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

EJEMPLOS

Eventos Mutuamente Excluyentes Y No Excluyentes Entre Si

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía.Pero cuando pueden ocurrir dos o más eventos al realizar una prueba cabe decir que son eventos no excluyentes.

EJEMPLOS:

Ejemplo:

Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Ejemplo:

Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.

Reglas de la Adición

La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) si A y B son no excluyentes

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A

P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B

P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

EJERCICIOS:

Supongase que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica ¿cual es la posibilidad de sacar una canica roja?

Canicas rojas: 3
Canicas azules: 3
Canicas verdes: 4
Total de canicas: 3 + 3 + 4 = 10

P (x) = 3 / ( 3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%

Existe un 30% de posiblidad de sacar una canica roja
1 si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3 puntos o menos o
B caen 5 puntos o mas
Como son Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6

2 se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.
Cual es la probabilidad de:
A sale un papel azul o
B sale un papel rojo
P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 + 15/50
=25/50
=1/2

Eventos independientes
1 En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.
Cual es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una
P(AyB)=P(A)*P(B)
=7/20 * 12/20
=84/400
=81/100

2 en una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.
Cual es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.
P(AyB)=P(A) * P(B)
=13/52 * 13/52
=169/2704

Eventos Dependientes e Independientes

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:
P(AlB)

EJEMPLOS

a) Probabilidad de sucesos independientes

b) Probabilidad de sucesos dependientes

BLOQUE 3.- COMPRENDE, REPRESENTA Y APLICA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

Probabilidad condicional

n gran número de problemas prácticos, los eventos de mayor interés son

aquellos cuya ocurrencia está condicionada a la ocurrencia de otro evento. De aquí que interese introducir el concepto de probabilidad condicional,

esto es, la probabilidad condicionada a que haya ocurrido o pudiese ocurrir

cierto evento.

EJEMPLOS:

Función De Probabilidad Para Una Variable Aleatoria Discreta

Definición

Dada una variable aleatoria $\scriptstyle X$ , su función de distribución, $\scriptstyle F_X(x)$ , es

$F_X(x) = \mathrm{Prob}( X \le x ) = \mu_P\{\omega\in \Omega|X(\omega)\le x\}$

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice $\scriptstyle X$ y se escribe, simplemente, $\scriptstyle F(x)$ . Donde en la fórmula anterior:

$\mathrm{Prob}\,$ , es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.

$\mu_P\,$ es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.

$\Omega\,$ es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.

$X:\Omega\to \R$ es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definda sobre el espacio muestral a los números reales.

Representación de la distribución de la probabilidad para la variable aleatoria discreta

Cálculo de la media y la desviación estándar

Desviación estándar

La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos.

La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. Así que, "¿qué es la varianza?"

Varianza

la varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ²) se define así:

Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.

En otras palabras, sigue estos pasos:

1. Calcula la media (el promedio de los números)
2. Ahora, por cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado).
3. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado.

La media aritmética

Cuando tenemos que resumir un conjunto de datos numéricos es muy frecuente utilizar la media aritmética. La media aritmética o promedio destaca por representar el reparto equitativo, el equilibrio, la equidad. Es el valor que tendrían los datos, si todos ellos fueran iguales. O, también, el valor que correspondería a cada uno de los datos de la distribución si su suma total se repartiera por igual.

EJERCICIOS

EJERCICIO 1

Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:

42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35

30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32

54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21

42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27

53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58

56 59 60 40 24

Elabore una tabla de frecuencias.

Calcule la media y la desviación típica.

SOLUCIÓN:

Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible establecer una serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a adjudicar a cada uno de los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador puede seguir diferentes criterios en función del objetivo del estudio. Una tabla de frecuencias elaborada a partir de estos datos podría ser la siguiente:

Edad n

20-29 14

30-39 17

40-49 22

50-59 18

60-69 9

Total 80

Cálculo de la media:

Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros de la cooperativa y dividiendo por el total que en este caso es ochenta, el resultado es una media de 43,29. También:

Edad	x_i	n_i	x_in_i
20-29	25	14	350
30-39	35	17	595
40-49	45	22	990
50-59	55	18	990
60-69	65	9	585
Total		80	3510

, por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.

Cálculo de la desviación típica:

Edad	x_i	n_i
20-29	25	14	-18,875	356,2656	4987,71875
30-39	35	17	-8,875	78,7656	1339,01563
40-49	45	22	1,125	1,2656	27,84375
50-59	55	18	11,125	123,7656	2227,78125
60-69	65	9	21,125	446,2656	4016,39063
Total		80			12598,75

S_{x =}

La desviación típica es de 12,5 años

EJERCICIO 2

Explique las similitudes y diferencias de estas distribuciones:

Edad n_ Edad n__

20-29 14 20-29 43

30-39 17 30-39 --

40-49 22 40-49 --

50-59 18 50-59 --

60-69 9 60-69 37

Total 80 Total 80

SOLUCIÓN:

La media y la desviación típica de la primera distribución, ha sido calculada en el primer ejercicio.

Calculamos a continuación los mismos estadísticos para la segunda distribución.

Cálculo de la media:

Edad	x_i	n_i	x_in_i
20-29	25	43	1075
30-39	35	-
40-49	45	-
50-59	55	-
60-69	65	37	2405
Total		80	3480

Cálculo de la desviación típica:

Edad	x_i	n_i
20-29	25	43	-18,875	356,2656	15319,4219
30-39	35	-	-8,875	78,7656	-
40-49	45	-	1,125	1,2656	-
50-59	55	-	11,125	123,7656	-
60-69	65	37	21,125	446.2656	16511,8281
Total		80			31831,25

La similitud de ambas distribuciones radica fundamentalmente en que tienen la misma amplitud y casi el mismo valor medio. La diferencia es que las frecuencias de la segunda se distribuyen en los intervalos extremos dejando vacíos los del medio. Ello aparece perfectamente reflejado en la desviación típica de 19,9, aproximadamente 20 años. 43 + 20 hacen 63, aproximadamente la mitad del último intervalo, 43 – 20 hacen 23, aproximadamente la mitad del primer intervalo. Recuérdese que la desviación típica es la raíz de la media de las distancias al cuadrado, de cada uno de los elementos de la distribución respecto de la media aritmética.

EJERCICIO 3

En una pregunta del CIS sobre la edad hasta la que consideran convenientes los padres controlar los programas y el tiempo de televisión de los hijos, la media fue de 15,4 años y la desviación típica de 2,11. Teniendo en cuenta que las respuestas se distribuyen aproximadamente como la curva normal y que van de los 7 a los 24 años, calcular:

a)-Cuantos respondieron que la edad debe ser hasta los 13 años

b)-Cuantos dijeron que debe estar entre 14 y 17 años.

c)-Cuantos respondieron que debe estar por encima de los 19 años

SOLUCIÓN:

S_{x =}2,1

Consultando las tablas de la curva normal comprobamos que entre la media y un desviación típica de 1,13 encontramos un área de 0,3708 que si situaría a la izquierda de la curva por tener signo negativo. Si el área que queremos calcular es el que queda a la izquierda del valor -1,13, es decir, los de menos de 13 años, restamos a 0,5 (que es la superficie de la mitad de la curva) 0,3708 y obtenemos el resultado de 12,92%

0,5-0,3708= 0,1292

Las áreas correspondientes a estos valores z son 0,2454 y 0,2734 respectivamente.

Como en este caso nos preguntan por el área comprendida entre las unidades z –0,66 y 0,75 sumaremos ambas con el resultado de del 51,88%

0,2454+0,2734 = 0,5188

El área correspondiente es de 0.4554 y los que están por encima de 1,7 unidades z se obtienen restando de 0,5, el 0,4554 de las tablas.

0,5-0,4554 = 0,0446, es decir el 4,46%.

Ejercicio 4

Calcule el tamaño muestral de una encuesta realizada por CIS sobre la Unión Europea que incluía todas las provincias excepto Ceuta y Melilla. El error teórico era de + 2, con un intervalo de confianza de 95,5% y P=Q en el supuesto de un muestreo aleatorio simple.

SOLUCIÓN

Utilizamos la fórmula para muestras infinitas en la que intervienen los tres factores determinantes del tamaño muestral: la probabilidad con la que queremos trabajar (z), el grado de concentración, dispersión de la población (pq) y el error que estamos dispuestos a asumir.

Probabilidad y Estadistica

lunes, 22 de abril de 2013

Probabilidad y Estadística.

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

SEXTO SEMESTRE

BLOQUE1.-ANALIZA Y RESUELVE SITUACIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD

Términos básicos de la teoría de conjuntos

Teoría básica de conjuntos

Conceptos básicos de probabilidad

Técnicas de conteo

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

PRINCIPIO ADITIVO

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION

PRINCIPIO DE PERMUTACION:

BLOQUE 2.- APLICA LA PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA

Probabilidad simple

Probabilidad Conjunta

Eventos Mutuamente Excluyentes Y No Excluyentes Entre Si

Eventos Dependientes e Independientes

a) Probabilidad de sucesos independientes

b) Probabilidad de sucesos dependientes

BLOQUE 3.- COMPRENDE, REPRESENTA Y APLICA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

Probabilidad condicional

Función De Probabilidad Para Una Variable Aleatoria Discreta

Definición

Desviación estándar

Varianza

La media aritmética

Total 80

Total

Total

EJERCICIO 2

Edad n_ Edad n__

Total

Total

EJERCICIO 3

Ejercicio 4

SOLUCIÓN